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取り組み中の問題

演義の授業を3つとった。それぞれ後期の演義で購読クラスに入ろうと思ったら良以上の成績が必要だという。

 

ぼくはどの分野でもなるべく購読(おそらくゼミ)をやりたい。そのために例えば幾何演義では3問の「標準」問題を解かなければならないのだが、これが思ったよりしんどい。

 

いま取り組んでいる問題はふたつ(どちらも幾何)。

 

(1)ハウスドルフ空間Xに自由作用する有限群GはXで真性不連続(任意の点についてある開近傍Vが存在して"g≠hならばgV≠hV"を満足する)であることを示せ。

(2)実数に下限位相を入れたとき、非可算濃度の部分集合はコンパクトにならないことを示せ。

 

(1)は両辺にh^(-1)をかけてVとgVの場合に帰着してから(V∩gV)^a (V∩gVの閉包)がxを含まないことをいえるかなというところで詰まっている。否定から入ろうともしたけど"xの任意近傍について……"という条件が扱いにくそう。

 

(2)はすぐできると思ったけど、自分で考えている方針*1だと非可算無限集合だけでなく可算無限集合の場合もコンパクト集合ではないことがいえてしまう。問題において「非可算」が非本質的な仮定になってしまうので、この考え方にはきっとどこかに陥穽がある。

 

バイトをしていても気になってしまう。誰かに相談してみるかな。

 

追記:

(1) 自由作用条件がカギなんちゃうかなという気がする。否定で入るとすると、そこを終着点とできるかもしれない(つまり最初にとった点がある非単位元gで動かなくなってしまう)。

 

追記の追記:

(1) まず群の作用を(群の元を固定して)写像と見なしたときに、それが連続であることすらわからないのがきつい。いかにも連続になってそうやのに。

*1:考えている部分集合をAとすると、Aを被覆する左半閉区間をAの元で"分割"して互いに素な半閉区間(開集合)を作れることからAが無限集合だとアウトとなる