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代数 振り出しに戻る

日記

 

a, b, c: 自然数とする。

<x, y; x^a=y^b=(xy)^c=1>が有限群となるのはいつか。

 

まあだいたい2くらいまでなら有限でもおかしくなくて、3を超え始めるとやばいんやろな、という見当はつく。実際、(a, b, c) = (2, 3, 3)なら4次交代群やったり、(2, 2, c)は2面体群やったりする。c = 2ならアーベルになってくれて、ふたつの剰余群の直和になってくれているというのもわかる。ただaを2としてb, cがゴーンと大きくなった場合はわからん(まだ調べていない)。

 

とりあえず無限になるのはどんなときかなと思って考えたら、a, bが3以上でcがその最小公倍数だったらひとまず無限であることはわかった。なんでかというと複素2次正則行列の無限部分群への全準同型があるから*1。でもそれ以上のことはまだはっきりいえない。直感的には数字が大きくなったら剰余類がどんどん増えるから、a, b, cが全部3以上なら無限群なんちゃうかなという予想はつく。

 

そもそも、こういう抽象的な群が無限群であることを楽に示す方法がわからない。とりあえず見た目が無限っぽい巡回群(例えば<xy^2>など)を持ってきて、それが仮に有限だとすると~とかつぶやきながらごちゃごちゃしてたらうまく矛盾でも引き出せへんかなと思ったけど、考えている群が抽象的すぎるのかなかなかうまくいかない。さっきの複素2次正則行列の部分群も、薄れかかった記憶を絞ってひねり出したようなもんやし。

 

ああ、でもせっかくここまでがんばったんやからなんとか完答したいなあ。

 

もう疲れたよ。

 

石磨きに行きたいという話を書こうと思ったのに、どうして群の愚痴をこぼしているのか。

 

追記:

c = 2はアーベルというのはちがうけど、有限にはおさまってくれてるね。

*1:1のa乗根, b乗根などを成分に含むような行列A, BでA^a=B^b=(AB)^GCM[a, b]=Eなるものを作った。しかしこれでは(AB)^cが一般のcでEになるようなものを構成するのは難しそう