距離→σ-コンパクトだといったな、あれはうそだ。
いや、ほんまにウソかはわからんけど、見ていた証明はちょっとやばそうだったので、振り出しにもどってしまった。どこがやばそうだったかというと「コンパクト集合上の点を中心とするコンパクトな閉球全体の和はまたコンパクト」を証明するところ。本当はぼくの知識が足りないからやばそうだと思えるだけで、がんばればそのギャップは埋まるのかもしれないが……。かといって反例を構成する気にもなれない。
ただ、感覚的には距離空間で、しかも局所的にユークリッド空間と同相なのだから、なんとかなるはずではある。距離空間でさえあればパラコンパクトであるらしいし、パラコンパクトな多様体なら第2可算やし。
やっぱ連結多様体において距離→第2可算はパラコンパクト経由で示さないとだめなんやろか。それとも直接ユークリッド空間の有理点を使ってごりごりできるのか。あるいはリンデレーフかなんかに結びつくのか。
なんとなくやけどいずれにせよコンパクト性は使わないと厳しそうな気がする。
